Dynamisches System

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Ein dynamisches System beschreibt die zeitliche Veränderung von Größen, z.B. die möglichen Bewegungsabläufe eines Pendels oder die zeitliche Veränderung von Populationszahlen zweier konkurrierender Spezies (z.B. Räuber und Beute).

Man unterscheidet zwischen diskreten und kontinuierlichen dynamischen Systemen. Bei einem diskreten System sind die betrachteten Größen Funktionen einer ganzzahligen Variablen (meist n genannt), bei kontinuierlichen Systemen sind sie Funktionen einer reellen Variablen (meist t genannt).

Wichtigstes Beispiel für kontinuierliche dynamische Systeme sind die Lösungen eines Systems gewöhnlicher Differentialgleichungen. Diskrete dynamische Systeme erhält man z.B., wenn man die Lösungen einer Differentialgleichung ca. in festen Zeitabständen auswertet. Ein weiteres wichtiges Beispiel sind Rekursionen der Form x_{n + 1} = F(x_n), wobei der Anfangswert x₀ vorgegeben ist.

Formal ist ein kontinuierliches dynamisches System eine Abbildung wobei eine offene Teilmenge des oder einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ist, mit den Merkmalen

(a)Φ(0,x) = x für alle x und

(b)Φ(t,Φ(s,x)) = Φ(s + t,x) für alle s,t und x.

Diese Definition gilt analog auch für diskrete dynamische Systeme, wenn man durch und die Variable t durch n ersetzt.

(a) bedeutet, dass "sich die Lösung nach 0 Zeiteinheiten in dem Ausgangszustand befindet". (b) bedeutet, dass man zunächst in s Zeiteinheiten von a nach Φ(s,x) gelangt und anschließend in t Zeiteinheiten von Φ(s,x) nach Φ(s + t,x).

In der Theorie dynamischer Systeme interessiert man sich besonders, bei gegebenem x, für das Verhalten von Lösungen für (bzw. für )

Die wichtigsten Grenzmengen sind Fixpunkte und periodische Orbits. Gerade in nichtlinearen Systemen trifft man aber auch komplexe nichtperiodische Grenzmengen an. Diese werden in der Chaostheorie ausführlich behandelt.